Les Équations Fiches Pédagogiques Mathématiques 2ème Année Collège

S1 Équations du premier degré à une inconnue (2APIC)

Objectifs

• Comprendre la notion d'équation du premier degré à une inconnue.
• Identifier les équations du premier degré à une inconnue.
• Distinguer les solutions d'une équation.

Prérequis

• Notions de calcul littéral.
• Égalités et opérations.

1ère Partie : Activité de Découverte

Consigne :

Problème : "Je pense à un nombre. Si je le multiplie par 3 et que j'ajoute 5, je trouve 14. Quel est ce nombre ?"

1. Essayez de trouver le nombre mentalement ou en posant une opération.
2. Exprimez ce problème sous la forme d'une égalité avec une inconnue.

Aide :

Utilisez une lettre (par exemple \(x\)) pour représenter le nombre inconnu.

2ème Partie : Cours

Définition :

Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité de la forme \(ax + b = 0\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres connus, et \(x\) est l'inconnue. \(a\) doit être différent de 0.

Exemples :

Exemple 1 : \(3x + 5 = 14\) est une équation du premier degré à une inconnue.

Exemple 2 : \(2x - 7 = 0\) est une équation du premier degré à une inconnue.

Exemple 3 : \(x^2 + 2x + 1 = 0\) n'est pas une équation du premier degré (il y a un \(x^2\)).

Vocabulaire :

• Le membre à gauche du signe = est le premier membre.
• Le membre à droite du signe = est le second membre.
• Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'égalité est vraie. Ces valeurs sont les solutions de l'équation.

3ème Partie : Exercices d'Application

Exercice 1 : Parmi les égalités suivantes, lesquelles sont des équations du premier degré à une inconnue ?

1. \(5x + 2 = 0\)
2. \(x^2 - 3x + 1 = 0\)
3. \(4x - 1 = 7\)
4. \(2y + 5 = 9\) (\(y\) est l'inconnue)
5. \(3x + 2 = 2x - 1\)

Exercice 2 : Pour chaque équation du premier degré à une inconnue de l'exercice 1, préciser l'inconnue et les coefficients.

Exercice 3 : L'équation \(2x + 3 = 7\) est-elle vraie si \(x = 1\) ? Si \(x = 2\) ?

Exercice 4 : Trouver la solution de l'équation \(4x - 8 = 0\).

S2 Résolution d'équations du premier degré à une inconnue (2APIC)

Objectifs

• Comprendre et appliquer les règles de résolution d'une équation du premier degré à une inconnue.
• Résoudre des équations du premier degré de différents types.
• Vérifier les solutions d'une équation.

Prérequis

• Notions de calcul littéral.
• Égalités et opérations.
• Résolution d'équations simples.

1ère Partie : Activité de Découverte

Consigne :

Reprenons l'exemple de la séance précédente : "Je pense à un nombre. Si je le multiplie par 3 et que j'ajoute 5, je trouve 14. Nous avons vu que cela peut s'écrire sous la forme d'une équation : \(3x + 5 = 14\). Comment pensez-vous que nous pouvons trouver la valeur de \(x\) ?

1. Essayez de trouver la valeur de \(x\) en utilisant différentes opérations.
2. Quelle opération vous permettrait d'isoler \(x\) ?

2ème Partie : Cours

Règle de résolution :

Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, on effectue les mêmes opérations (addition, soustraction, multiplication, division) des deux côtés de l'égalité, de manière à isoler l'inconnue sur un des côtés.

Étapes :

1. Simplifier les deux membres de l'équation en réduisant les termes semblables.
2. Isoler le terme en \(x\) en ajoutant ou soustrayant le même nombre des deux côtés.
3. Isoler \(x\) en divisant ou multipliant les deux côtés par le coefficient de \(x\).
4. Vérifier la solution en remplaçant \(x\) par la valeur trouvée dans l'équation de départ.

Exemples :

Exemple 1 : Résoudre \(3x + 5 = 14\).

1. \(3x + 5 - 5 = 14 - 5\)
2. \(3x = 9\)
3. \(\frac{3x}{3} = \frac{9}{3}\)
4. \(x = 3\)
5. Vérification : \(3 \times 3 + 5 = 14\) (OK)

Exemple 2 : Résoudre \(2x - 7 = 0\).

1. \(2x - 7 + 7 = 0 + 7\)
2. \(2x = 7\)
3. \(\frac{2x}{2} = \frac{7}{2}\)
4. \(x = 3,5\)
5. Vérification : \(2 \times 3,5 - 7 = 0\) (OK)

Exemple 3 : Résoudre \(4x + 2 = 2x - 1\).

1. \(4x - 2x + 2 = 2x - 2x - 1\)
2. \(2x + 2 = -1\)
3. \(2x + 2 - 2 = -1 - 2\)
4. \(2x = -3\)
5. \(x = -1,5\)
6. Vérification : \(4 \times (-1,5) + 2 = 2 \times (-1,5) - 1\) (OK)

3ème Partie : Exercices d'Application

Exercice 1 : Résoudre les équations suivantes :

1. \(5x + 2 = 0\)
2. \(4x - 1 = 7\)
3. \(2y + 5 = 9\)
4. \(3x + 2 = 2x - 1\)

Exercice 2 : Résoudre les équations suivantes :

1. \(7x - 3 = 4x + 9\)
2. \(5(x + 2) = 3x - 4\)
3. \(\frac{2x + 1}{3} = x - 2\)

Correction des Exercices :

Exercice 1 :

1. \(x = -\frac{2}{5}\)
2. \(x = 2\)
3. \(y = 2\)
4. \(x = -3\)

Exercice 2 :

1. \(x = 4\)
2. \(x = -7\)
3. \(x = 7\)

S3 Résolution d'équations du premier degré à une inconnue avec fractions (2APIC)

Objectifs

• Comprendre et appliquer les règles de résolution d'une équation du premier degré à une inconnue avec des coefficients fractionnaires.
• Résoudre des équations du premier degré de différents types avec des fractions.
• Vérifier les solutions d'une équation.

Prérequis

• Notions de calcul littéral.
• Opérations avec les fractions.
• Résolution d'équations simples.

1ère Partie : Activité de Découverte

Consigne :

Si un tiers d'un nombre est égal à cinq sixièmes, quel est ce nombre ? Pouvez-vous écrire ce problème sous la forme d'une équation ?

1. Essayez de trouver le nombre en utilisant différentes opérations.
2. Quelle opération vous permettrait d'isoler l'inconnue ?

2ème Partie : Cours

Règle de résolution :

Les règles de résolution pour les équations avec des fractions sont les mêmes que pour les équations avec des nombres entiers ou décimaux. L'objectif est toujours d'isoler l'inconnue en effectuant les mêmes opérations des deux côtés de l'égalité.

Étapes :

1. Simplifier les deux membres de l'équation en réduisant les fractions au même dénominateur si nécessaire.
2. Isoler le terme en \(x\) en ajoutant ou soustrayant la même fraction des deux côtés.
3. Isoler \(x\) en multipliant les deux côtés par l'inverse du coefficient de \(x\) (qui est une fraction).
4. Vérifier la solution en remplaçant \(x\) par la valeur trouvée dans l'équation de départ.

Exemples :

Exemple 1 : Résoudre \(\frac{1}{3}x = \frac{5}{6}\).

1. \(\frac{1}{3}x \times 3 = \frac{5}{6} \times 3\)
2. \(x = \frac{15}{6}\)
3. \(x = \frac{5}{2}\)
4. Vérification : \(\frac{1}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{5}{6}\) (OK)

Exemple 2 : Résoudre \(\frac{2}{5}x + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}\).

1. \(\frac{2}{5}x + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}\)
2. \(\frac{2}{5}x = \frac{1}{4}\)
3. \(\frac{2}{5}x \times \frac{5}{2} = \frac{1}{4} \times \frac{5}{2}\)
4. \(x = \frac{5}{8}\)
5. Vérification : \(\frac{2}{5} \times \frac{5}{8} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}\) (OK)

Exemple 3 : Résoudre \(\frac{x + 1}{2} = \frac{2x - 3}{3}\).

1. \(3(x + 1) = 2(2x - 3)\)
2. \(3x + 3 = 4x - 6\)
3. \(3x - 4x = -6 - 3\)
4. \(-x = -9\)
5. \(x = 9\)
6. Vérification : \(\frac{9 + 1}{2} = \frac{2 \times 9 - 3}{3}\) (OK)

3ème Partie : Exercices d'Application

Exercice 1 : Résoudre les équations suivantes :

1. \(\frac{2}{3}x = \frac{4}{9}\)
2. \(\frac{1}{2}x + \frac{2}{3} = \frac{5}{6}\)
3. \(\frac{3}{4}x - \frac{1}{3} = \frac{1}{2}\)
4. \(\frac{x + 2}{3} = \frac{3x - 1}{4}\)

Exercice 2 : Résoudre les équations suivantes :

1. \(\frac{2x + 1}{5} = \frac{x - 2}{2}\)
2. \(\frac{3x - 4}{2} + \frac{1}{3} = x - 1\)
3. \(\frac{x + 1}{4} - \frac{2x - 3}{2} = \frac{1}{6}\)

Correction des Exercices :

Exercice 1 :

1. \(x = \frac{2}{3}\)
2. \(x = \frac{1}{3}\)
3. \(x = \frac{10}{9}\)
4. \(x = \frac{11}{5}\)

Exercice 2 :

1. \(x = 4\)
2. \(x = \frac{13}{3}\)
3. \(x = -\frac{5}{3}\)

S4 Résolution d'équations produit nul (2APIC)

Objectifs

• Comprendre la propriété du produit nul.
• Résoudre des équations de la forme \((ax+b)(cx+d)=0\).
• Appliquer ces compétences à des problèmes concrets.

Prérequis

• Notions de calcul littéral.
• Résolution d'équations du premier degré.

1ère Partie : Activité de Découverte

Consigne :

A) Si je vous dis que le produit de deux nombres est égal à zéro, que pouvez-vous en conclure sur ces deux nombres ?

B) Voici une équation : \((x - 2)(x + 3) = 0\). Essayez de trouver les valeurs de \(x\) qui rendent cette égalité vraie.

Exemple :

Si \(x = 2\), alors \((2 - 2)(2 + 3) = 0 \times 5 = 0\). Donc \(x = 2\) est une solution.

Si \(x = -3\), alors \((-3 - 2)(-3 + 3) = -5 \times 0 = 0\). Donc \(x = -3\) est une solution.

Discussion :

Pour qu'un produit soit nul, il faut qu'au moins un des facteurs soit nul. C'est la propriété du produit nul.

2ème Partie : Cours

Propriété du produit nul :

Si \(A \times B = 0\), alors \(A = 0\) ou \(B = 0\) (ou les deux).

Résolution d'équations de la forme \((ax+b)(cx+d)=0\) :

1. On utilise la propriété du produit nul : Si \((ax+b)(cx+d)=0\), alors \(ax+b=0\) ou \(cx+d=0\).
2. On résout chaque équation séparément :
   • \(ax+b=0\) => \(x = -\frac{b}{a}\)
   • \(cx+d=0\) => \(x = -\frac{d}{c}\)
3. Les solutions de l'équation \((ax+b)(cx+d)=0\) sont les valeurs de \(x\) trouvées précédemment.

Exemples :

Exemple 1 : Résoudre \((2x-4)(3x+9)=0\).

1. \(2x-4=0\) ou \(3x+9=0\)
2. \(2x=4\) => \(x=2\)
3. \(3x=-9\) => \(x=-3\)
4. Les solutions sont \(x=2\) et \(x=-3\).

Exemple 2 : Résoudre \((x+5)(4x-8)=0\).

1. \(x+5=0\) ou \(4x-8=0\)
2. \(x=-5\)
3. \(4x=8\) => \(x=2\)
4. Les solutions sont \(x=-5\) et \(x=2\).

3ème Partie : Exercices d'Application

Exercice 1 : Résoudre les équations suivantes :

1. \((x-3)(2x+6)=0\)
2. \((5x+10)(3x-9)=0\)
3. \((4x-8)(x+7)=0\)

Exercice 2 : Résoudre les équations suivantes :

1. \(x(2x-4)=0\)
2. \((x+1)(x-2)=0\)
3. \((3x+6)(2x-8)=0\)

Correction des Exercices :

Exercice 1 :

1. \(x=3\) et \(x=-3\)
2. \(x=-2\) et \(x=3\)
3. \(x=2\) et \(x=-7\)

Exercice 2 :

1. \(x=0\) et \(x=2\)
2. \(x=-1\) et \(x=2\)
3. \(x=-2\) et \(x=4\)