Les équations
Équations du premier degré à une inconnue (1APIC - 5ème)
Objectifs
- Comprendre la notion d'équation du premier degré à une inconnue.
- Identifier les équations du premier degré à une inconnue.
- Distinguer les solutions d'une équation.
Prérequis
- Notions de calcul littéral.
- Égalités et opérations.
1ère Partie : Activité
Activité1 :
Problème : "Je pense à un nombre. Si je le multiplie par 3 et que j'ajoute 5, je trouve 14. Quel est ce nombre ?"
- Essayez de trouver le nombre mentalement ou en posant une opération.
- Exprimez ce problème sous la forme d'une égalité avec une inconnue.
Aide :
Utilisez une lettre (par exemple \(x\)) pour représenter le nombre inconnu.
2ème Partie : Cours
Définition1 :
Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité de la forme \(ax + b = 0\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres connus, et \(x\) est l'inconnue. \(a\) doit être différent de 0.
Exemples :
Exemple 1 : \(3x + 5 = 14\) est une équation du premier degré à une inconnue.
Exemple 2 : \(2x - 7 = 0\) est une équation du premier degré à une inconnue.
Exemple 3 : \(x^2 + 2x + 1 = 0\) n'est pas une équation du premier degré (il y a un \(x^2\)).
Remarque :
- Le membre à gauche du signe = est le premier membre.
- Le membre à droite du signe = est le second membre.
- Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'égalité est vraie. Ces valeurs sont les solutions de l'équation.
3ème Partie : Exercices d'Application
Exercice 1 : Parmi les égalités suivantes, lesquelles sont des équations du premier degré à une inconnue ?
- \(5x + 2 = 0\)
- \(x^2 - 3x + 1 = 0\)
- \(4x - 1 = 7\)
- \(2y + 5 = 9\) (\(y\) est l'inconnue)
- \(3x + 2 = 2x - 1\)
Exercice 2 : Pour chaque équation du premier degré à une inconnue de l'exercice 1, préciser l'inconnue et les coefficients.
Exercice 3 : L'équation \(2x + 3 = 7\) est-elle vraie si \(x = 1\) ? Si \(x = 2\) ?
Exercice 4 : Trouver la solution de l'équation \(4x - 8 = 0\).
Résolution d'équations du premier degré : x + a = b et x - a = b (1APIC -5ème)
Objectifs
- Comprendre la notion d'équation et de solution d'une équation.
- Résoudre des équations du type x + a = b et x - a = b.
- Appliquer les règles de calcul pour isoler l'inconnue x.
Prérequis
- Connaissance des opérations de base (addition, soustraction).
- Notion de nombres relatifs.
1ère Partie : Activité de Découverte
Consigne : Pour chaque situation, écris une équation et essaie de trouver la valeur de l'inconnue :
Situation 1 : J'ai un paquet de 15 billes. J'en donne 7 à mon ami. Combien de billes me reste-t-il ?
Situation 2 : Un boulanger a préparé 20 gâteaux. Il en vend un certain nombre. Il lui en reste 8. Combien de gâteaux a-t-il vendu ?
Situation 3 : Dans une classe, il y a 25 élèves. 12 sont des filles. Combien de garçons y a-t-il ?
Aide :
- Représente l'inconnue par la lettre x.
- Traduis chaque situation par une égalité.
2ème Partie : Cours
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle une ou plusieurs valeurs sont inconnues. Résoudre une équation, c'est trouver la valeur (ou les valeurs) de l'inconnue pour laquelle l'égalité est vraie.
Propriété :
Pour résoudre une équation du type x + a = b, on soustrait a aux deux membres de l'équation :
\(x + a - a = b - a\), donc \(x = b - a\)
Pour résoudre une équation du type x - a = b, on ajoute a aux deux membres de l'équation :
\(x - a + a = b + a\), donc \(x = b + a\)
Exemples :
Exemple 1 : Résoudre l'équation \(x + 5 = 12\).
- On soustrait 5 aux deux membres : \(x + 5 - 5 = 12 - 5\)
- Donc \(x = 7\)
Exemple 2 : Résoudre l'équation \(x - 3 = 8\).
- On ajoute 3 aux deux membres : \(x - 3 + 3 = 8 + 3\)
- Donc \(x = 11\)
3ème Partie : Exercices d'Application
Exercice 1 : Résoudre les équations suivantes :
- \(x + 7 = 15\)
- \(x - 2 = 10\)
- \(x + (-4) = 6\)
- \(x - (-3) = 9\)
Exercice 2 : Problème :
Luc a 5 billes de plus que Marie. Si Marie a 12 billes, combien de billes Luc a-t-il ?
Correction des Exercices :
Exercice 1 :
- \(x = 8\)
- \(x = 12\)
- \(x = 10\)
- \(x = 6\)
Exercice 2 :
Soit x le nombre de billes de Luc. On a l'équation : \(x - 5 = 12\), donc \(x = 17\). Luc a 17 billes.
Conseils
- Vérifiez toujours votre solution en remplaçant l'inconnue x par la valeur trouvée dans l'équation de départ.
- Entraînez-vous régulièrement pour maîtriser la résolution d'équations.
Résolution d'équations du type \(ax = b\) et \(\frac{x}{a} = b\) (1APIC -5ème)
Objectifs
- Comprendre la notion d'équation et de solution.
- Résoudre des équations du type \(ax = b\) et \(\frac{x}{a} = b\).
- Appliquer les règles de calcul pour résoudre des équations.
Prérequis
- Connaissance des opérations de base (addition, soustraction, multiplication, division).
- Maîtrise des fractions et des nombres relatifs.
1ère Partie : Activité de Découverte
Consigne :
1. Équations du type \(ax = b\) :
- Si \(3x = 12\), quelle est la valeur de \(x\) ?
- Si \(5x = 25\), quelle est la valeur de \(x\) ?
- Comment trouver la valeur de \(x\) dans ces équations ?
2. Équations du type \(\frac{x}{a} = b\) :
- Si \(\frac{x}{2} = 7\), quelle est la valeur de \(x\) ?
- Si \(\frac{x}{3} = 5\), quelle est la valeur de \(x\) ?
- Comment trouver la valeur de \(x\) dans ces équations ?
Aide :
Pour résoudre ces équations, on cherche la valeur de \(x\) qui vérifie l'égalité.
2ème Partie : Cours
Propriété :
Pour résoudre une équation du type \(ax = b\), on divise les deux membres de l'équation par \(a\) (si \(a\) est non nul) :
\(ax = b\) \(\Rightarrow\) \(x = \frac{b}{a}\)
Pour résoudre une équation du type \(\frac{x}{a} = b\), on multiplie les deux membres de l'équation par \(a\) :
\(\frac{x}{a} = b\) \(\Rightarrow\) \(x = ab\)
Exemples :
Exemple 1 : Résoudre \(4x = 20\).
- On divise les deux membres par 4 : \(x = \frac{20}{4}\)
- Donc \(x = 5\)
Exemple 2 : Résoudre \(\frac{x}{3} = 8\).
- On multiplie les deux membres par 3 : \(x = 8 \times 3\)
- Donc \(x = 24\)
3ème Partie : Exercices d'Application
Exercice 1 : Résoudre les équations suivantes :
- \(2x = 10\)
- \(5x = 35\)
- \(\frac{x}{4} = 6\)
- \(\frac{x}{2} = 9\)
Exercice 2 : Résoudre les équations suivantes :
- \(3x + 5 = 14\)
- \(2x - 7 = 3\)
- \(\frac{x}{5} + 2 = 8\)
- \(\frac{x}{3} - 1 = 4\)
Correction des Exercices :
Exercice 1 :
- \(x = 5\)
- \(x = 7\)
- \(x = 24\)
- \(x = 18\)
Exercice 2 :
- \(x = 3\)
- \(x = 5\)
- \(x = 30\)
- \(x = 15\)
Conseils
- Entraînez-vous régulièrement pour maîtriser la résolution d'équations.
- Vérifiez toujours vos solutions en les remplaçant dans l'équation de départ.
- N'hésitez pas à demander de l'aide si vous rencontrez des difficultés.
Résolution d'équations du type ax+b=c (1APIC -5ème)
Objectifs
- Comprendre la notion d'équation et de solution.
- Résoudre des équations du type \(ax + b = c\).
- Appliquer les règles de calcul pour résoudre des équations.
Prérequis
- Connaissance des opérations de base (addition, soustraction, multiplication, division).
- Maîtrise des nombres relatifs.
1ère Partie : Activité de Découverte
Consigne :
1. Équations du type \(ax + b = c\) :
- Si \(2x + 3 = 7\), quelle est la valeur de \(x\) ?
- Si \(3x - 5 = 10\), quelle est la valeur de \(x\) ?
- Comment trouver la valeur de \(x\) dans ces équations ?
Aide :
Pour résoudre ces équations, on cherche la valeur de \(x\) qui vérifie l'égalité.
2ème Partie : Cours
Propriété :
Pour résoudre une équation du type \(ax + b = c\), on procède en deux étapes :
- On soustrait \(b\) aux deux membres de l'équation : \(ax + b - b = c - b\), ce qui donne \(ax = c - b\).
- On divise les deux membres de l'équation par \(a\) (si \(a\) est non nul) : \(\frac{ax}{a} = \frac{c - b}{a}\), ce qui donne \(x = \frac{c - b}{a}\).
Exemples :
Exemple 1 : Résoudre \(2x + 3 = 7\).
- On soustrait 3 aux deux membres : \(2x = 7 - 3\)
- Donc \(2x = 4\)
- On divise les deux membres par 2 : \(x = \frac{4}{2}\)
- Donc \(x = 2\)
Exemple 2 : Résoudre \(3x - 5 = 10\).
- On ajoute 5 aux deux membres : \(3x = 10 + 5\)
- Donc \(3x = 15\)
- On divise les deux membres par 3 : \(x = \frac{15}{3}\)
- Donc \(x = 5\)
3ème Partie : Exercices d'Application
Exercice 1 : Résoudre les équations suivantes :
- \(5x + 2 = 17\)
- \(3x - 4 = 8\)
- \(2x + 7 = 11\)
- \(4x - 1 = 15\)
Exercice 2 : Résoudre les équations suivantes :
- \(6x + 5 = 23\)
- \(2x - 9 = 5\)
- \(3x + 1 = 10\)
- \(5x - 3 = 12\)
Correction des Exercices :
Exercice 1 :
- \(x = 3\)
- \(x = 4\)
- \(x = 2\)
- \(x = 4\)
Exercice 2 :
- \(x = 3\)
- \(x = 7\)
- \(x = 3\)
- \(x = 3\)
Conseils
- Entraînez-vous régulièrement pour maîtriser la résolution d'équations.
- Vérifiez toujours vos solutions en les remplaçant dans l'équation de départ.
- N'hésitez pas à demander de l'aide si vous rencontrez des difficultés.
Résolution de problèmes avec les équations du premier degré à une inconnue (1APIC -5ème)
Objectifs
- Comprendre et appliquer la méthodologie de résolution de problèmes.
- Mettre en équation un problème donné.
- Résoudre des équations du premier degré à une inconnue.
Prérequis
- Connaissance des opérations de base.
- Maîtrise du calcul littéral de base (expressions littérales, réduction).
- Résolution d'équations du type \(ax = b\) et \(ax + b = c\).
1ère Partie : Activité de Découverte
Consigne :
Essayez de résoudre le problème suivant :
J'ai deux fois plus de billes que mon ami. Ensemble, nous en avons 21. Combien de billes ai-je ?
Réfléchissez aux étapes à suivre :
- Quelle est l'information que l'on cherche ?
- Comment peut-on représenter cette information avec une lettre (l'inconnue) ?
- Comment traduire le problème en une équation ?
- Comment résoudre cette équation ?
- Comment vérifier si la réponse est logique ?
2ème Partie : Cours
Méthodologie générale :
Pour résoudre un problème à l'aide d'une équation, il est conseillé de suivre les étapes suivantes :
- Choix de l'inconnue : Désigner par une lettre (souvent \(x\)) la quantité inconnue que l'on cherche à déterminer.
- Mise en équation du problème : Traduire les informations du problème en une équation, en utilisant l'inconnue et les données numériques.
- Résolution de l'équation : Résoudre l'équation obtenue en utilisant les règles de calcul.
- Conclusion du problème : Interpréter le résultat de l'équation pour répondre à la question posée dans le problème, en tenant compte des unités.
- Vérification du résultat : Remplacer la valeur de l'inconnue trouvée dans l'énoncé du problème pour vérifier si elle est cohérente avec les données.
Exemple :
Problème : Un père a 3 fois l'âge de son fils. Dans 10 ans, il aura deux fois l'âge de son fils. Quels sont leurs âges actuels ?
- Choix de l'inconnue : Soit \(x\) l'âge actuel du fils. L'âge actuel du père est donc \(3x\).
- Mise en équation : Dans 10 ans, l'âge du fils sera \(x + 10\) et l'âge du père sera \(3x + 10\). On a l'équation : \(3x + 10 = 2(x + 10)\).
- Résolution de l'équation :
- \(3x + 10 = 2x + 20\)
- \(3x - 2x = 20 - 10\)
- \(x = 10\)
- Conclusion : L'âge actuel du fils est de 10 ans et l'âge actuel du père est de 30 ans.
- Vérification : Dans 10 ans, le fils aura 20 ans et le père 40 ans, ce qui est bien le double.
3ème Partie : Exercices d'Application
Exercice 1 :
Un rectangle a une longueur de 12 cm et une largeur de \(x\) cm. Son périmètre est de 30 cm. Quelle est sa largeur ?
Exercice 2 :
J'ai acheté 3 baguettes de pain à \(x\) euros chacune et un gâteau à 4 euros. J'ai payé avec un billet de 20 euros et on m'a rendu 11 euros. Quel est le prix d'une baguette ?
Correction des Exercices :
Exercice 1 :
Largeur : 3 cm
Exercice 2 :
Prix d'une baguette : 1,5 euros
Conseils
- Lisez attentivement l'énoncé du problème.
- Identifiez les informations importantes et l'inconnue.
- Prenez le temps de bien traduire le problème en équation.
- Vérifiez toujours votre solution.